契約書がないまま撤去工事などを進めることはできますか？

できますが、契約書がない状態で工事を進めるのはおすすめできません。

契約書を取り交わさずに工事を行った場合、不当な追加請求をされてしまう事も考えられます。また、万が一のトラブル時など「言った言わない」という問題でトラブル解決までに時間を要してしまうケースもある為、事前に契約書は取り交わす事を強くおすすめします。

また、契約を結ばない理由が、業者の担当者から「うちは契約書はいつも作成していなくて口頭契約なんです」等と言われたことが理由だとすれば、そのような業者は避けるのが無難でしょう。

工事にかかる金額は少なくありません。一般的な業者であれば業界の慣習やお施主様の事情を考慮して、工事前に契約書の作成～締結を経て工事に進みます。